Chapter 5 Pruebas de hipótesis

5.1 Prueba sobre la media poblacional

La media poblacional es un parámetro que mide la centralidad de los datos. Lo que se investiga a través de la hipótesis, es probar si hay cambios en la medida central.

T1 <- maiz2[maiz2$Tratamiento=="T1",]
T2 <- maiz2[maiz2$Tratamiento=="T2",]
T3 <- maiz2[maiz2$Tratamiento=="T3",]

5.2 Prueba de una cola superior

El interés del investigador es probar que la media del Longitud de grano es superior a la actual.

Prueba la hipótesis que la media de LG del tratamiento 1 es superior a 15 mm.

\(H_0: \mu \le 15~mm\)

\(H_1: \mu > 15~mm\)

\(\alpha = 0.05\)

Utilice la prueba de t-student

t.test(T1$LG, mu = 15, alternative = "greater")

    One Sample t-test

data:  T1$LG
t = -29.49, df = 79, p-value = 1
alternative hypothesis: true mean is greater than 15
95 percent confidence interval:
 12.12569      Inf
sample estimates:
mean of x 
 12.27925 

# Valor critico de la prueba
qt(0.95,79)

[1] 1.664371

Se observó que la media de la longitud de grano en el tratamiento 1 fue de 12.28 mm.

Conclusión, con un alfa de 0.05, existe suficiente evidencia estadística para no rechazar la \(H_0\) (hipótesis nula), por lo tanto, se concluye que la media de la longitud de grano en el tratamiento 1 es menor o igual a 15 mm.

No hay ninguna evidencia estadística para sospechar que la media de LG en el tratamiento 1 sea mayor o superior a 15 mm, debido a que el pvalor obtenido por la prueba fue de 1 (superior al nivel de incertibumbre fijado para este experimento).

5.3 Prueba de una cola inferior

El interés del investigador es probar que la media del ancho de grano es inferior a la actual.

Prueba la hipótesis que la media de AG del tratamiento 3 es inferior a 9 mm.

\(H_0: \mu \ge 9~mm\)

\(H_1: \mu < 9~mm\)

\(\alpha = 0.08\)

Utilice la prueba de t-student

t.test(T3$AG, mu = 9, alternative = "less")

    One Sample t-test

data:  T3$AG
t = -8.2518, df = 79, p-value = 0.000000000001407
alternative hypothesis: true mean is less than 9
95 percent confidence interval:
     -Inf 8.505551
sample estimates:
mean of x 
 8.380625 

# Valor critico de la prueba
qt(0.08,79)

[1] -1.418424

Se observó que el valor crítico de la prueba fue de t = -1.418424. Si se logra obtener un valor de t calculado menor a el t crítico o tabular de la prueba, entonces se rechaza la hipótesis nula.

El valor calculado de t fue de -88.189 (menor a -1.418424), obteniendo un p valor < 0.001 (p < 0.00000000000000022). Teniendo en cuenta que el nivel de alfa designado para la prueba fue de 0.08, entonces el t calculado está situado en la zona de rechazo de la hipótesis nula.

La media calculada del ancho de grano en el tratamiento 3, fue de 8.38 mm.

Conclusión se rechaza la hipótesis nula, con un nivel de significancia de 0.08, por lo tanto, hay suficiente evidencia estadística para afirmar que la media del AG en el tratamiento 3 es menor a 9 mm.

Consideraciones

Existen niveles de incertidumbre o niveles de significancia (\(\alpha\)), que ayudan a saber cuanta probabilidad de tolerancia de cometer un error de tipo I, estamos dispuestos a aceptar.

Existes cinco niveles de significancia ampliamente usados:

No se rechaza la hipótesis nula cuando: - No significativo (n.s.): Cuando el p valor obtenido es mayor a 0.1.

El criterio de rechazo de hipótesis nula, dependerá del investigador: - Marginal (m): Cuando el p valor obtenido es mayor a 0.05 y menor igual a 0.1.

Se rechaza la hipótesis nula: - Significativo (): Cuando el p valor obtenido es menor igual a 0.05. - Altamente significativo (): Cuando el p valor obtenido es menor igual a 0.01. - Muy altamente significativo (): Cuando el p valor obtenido es menor igual a 0.001.

En experimentos agrícolas, es común utilizar un p valor de 0.05, pero, según el nivel de confianza de las conclusiones que se desean tomar, se puede optar por otros valores de significancia.

5.4 Limites de confianza

Es una estimación del parámetro por intervalo, es mejor que una estimación puntual.

Halle los límites de confianza al 95 % del ancho de grano del tratamiento 1.

Utilice t-student.

with(T1, t.test(AG, conf.level = 0.95))

    One Sample t-test

data:  AG
t = 105.97, df = 79, p-value < 0.00000000000000022
alternative hypothesis: true mean is not equal to 0
95 percent confidence interval:
 9.063248 9.410252
sample estimates:
mean of x 
  9.23675 

El valor medio del ancho de grano en el tratamiento 1 fue de \(9.23675 mm\), su límite inferior fue de \(9.063248\) y su límite superior fue de \(9.410252\) al 95 % de confianza.

with(T1, t.test(AG, conf.level = 0.95, alternative = "less"))

    One Sample t-test

data:  AG
t = 105.97, df = 79, p-value = 1
alternative hypothesis: true mean is less than 0
95 percent confidence interval:
     -Inf 9.381829
sample estimates:
mean of x 
  9.23675 

with(T1, t.test(AG, conf.level = 0.95, alternative = "greater"))

    One Sample t-test

data:  AG
t = 105.97, df = 79, p-value < 0.00000000000000022
alternative hypothesis: true mean is greater than 0
95 percent confidence interval:
 9.091671      Inf
sample estimates:
mean of x 
  9.23675 

5.5 Prueba de dos colas

Prueba la hipótesis que la media de la longitud de grano en el tratamiento 1 es diferente a la media de la longitud de grano en el tratamiento 3.

\(H_0: \mu_{T1} = \mu_{T3}\)

\(H_1: \mu_{T1} \neq \mu_{T3}\)

\(H_0: \mu_{T1} - \mu_{T3} = 0\)

\(H_1: \mu_{T1} - \mu_{T3} \neq 0\)

\(\alpha = 0.03\)

Utilice la prueba de t-student

Primero realice la prueba de homogeneidad de variancia

\(H_0: \sigma_{T1} = \sigma_{T3}\)

\(H_1: \sigma_{T1} \neq \sigma_{T3}\)

\(H_0: \frac{\sigma_{T1}}{\sigma_{T3}} = 1\)

\(H_1: \frac{\sigma_{T1}}{\sigma_{T3}} \neq 1\)

\(\alpha = 0.1\)

Utilice la prueba de F

var.test(T1$LG,T3$LG, conf.level = 0.90)

    F test to compare two variances

data:  T1$LG and T3$LG
F = 0.62257, num df = 79, denom df = 79, p-value = 0.03664
alternative hypothesis: true ratio of variances is not equal to 1
90 percent confidence interval:
 0.4290184 0.9034454
sample estimates:
ratio of variances 
         0.6225711 

Se rechaza la hipótesis nula, dado que el p.valor = 0.03664, es menor a 0.1, lo mínimo para no rechazar la hipótesis que concluye que las variancias son equivalentes.

Conclusión A un nivel de significancia de 0.1, existe suficiente evidencia estadística para rechazar la hipótesis nula, por lo tanto, las variancias de longitud de grano de los tratamientos 1 y 3 no son equivalentes, entonces las variancias no son estadísticamente iguales.

En la prueba de t-student debemos considerar estos resultados para realizar un ajuste de la prueba.

t.test(T1$LG,T3$LG, conf.level = 0.97, alternative = "two.sided", var = FALSE)

    Welch Two Sample t-test

data:  T1$LG and T3$LG
t = 4.302, df = 149.89, p-value = 0.0000304
alternative hypothesis: true difference in means is not equal to 0
97 percent confidence interval:
 0.3144217 0.9670783
sample estimates:
mean of x mean of y 
 12.27925  11.63850 

La media de la longitud de grano del tratamiento 1 fue de \(12.27925\) mm y en el tratamiento 3 fue de \(11.63850\) mm.

La diferencia de las medias fue de \(0.64075\) mm, que tuvo un intervalo de confianza al \(97\%\) con un valor superior de \(0.9670783\) mm y un valor inferior de \(0.3144217\) mm.

El p valor fue de 0.0000304, menor al \(\alpha\) de 0.03, por lo tanto se rechaza la hipótesis nula.

Conclusión

Con un nivel de significancia de 0.03, existe suficiente evidencia estadística para rechazar la hipótesis nula, por lo tanto, la diferencia de medias de la longitud de grano de los tratamientos 1 y 3 fue diferente estadísticamente de 0. Entonces, se puede concluir además, que el tratatamiento 1 posee una media estadísticamente diferente al tratamiento 3 con respecto a la longitud de grano.